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0 前言

隨著航空航天、軍工、船舶、汽車等行業(yè)對精密零件加工的要求越來越高，機(jī)床的精度性能顯得更加重要，精密數(shù)控機(jī)床的設(shè)計制造也以高精度、高智能化、高效率為主要目標(biāo)。精度設(shè)計是保證和提高機(jī)床精度的重要一環(huán)，傳統(tǒng)的機(jī)床設(shè)計中，主要依靠經(jīng)驗的方法設(shè)計機(jī)床各部件的公差等級。由于各環(huán)節(jié)誤差對機(jī)床整體精度的影響程度不同，精度控制實現(xiàn)的難易程度也不同。因此，為節(jié)約機(jī)床的設(shè)計及制造成本，分析影響機(jī)床加工精度的各主要因素，建立機(jī)床的精度模型并進(jìn)行誤差敏感度分析顯得尤其重要。精度設(shè)計對精密數(shù)控機(jī)床的設(shè)計與制造具有重要的實際應(yīng)用意義。

影響機(jī)床整體加工精度的各類誤差主要有機(jī)床零部件的幾何誤差、熱誤差、載荷誤差、伺服誤差和插補(bǔ)誤差等，而幾何誤差對加工精度的影響又是精度設(shè)計的主要研究內(nèi)容。機(jī)床的綜合幾何誤差體現(xiàn)在各零部件上，最終均將反映在被加工工件的加工誤差上，而通過準(zhǔn)確建立機(jī)床的精度模型，可以反映出整體精度與各零部件的精度關(guān)系。國內(nèi)外許多學(xué)者對數(shù)控機(jī)床空間誤差建模方法進(jìn)行了較廣泛而深入的研究，先后出現(xiàn)了幾何建模法、誤差矩陣法、二次關(guān)系模型法、機(jī)構(gòu)學(xué)建模法、剛體運(yùn)動學(xué)法和多體系統(tǒng)理論法等。多體系統(tǒng)是一般機(jī)械系統(tǒng)最為全面的完整抽象、高度概括和有效描述，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式。目前國內(nèi)外眾多學(xué)者已應(yīng)用多體系統(tǒng)理論對機(jī)床進(jìn)行精度建模與分析。POTT等通過一種基于簡化矢力的方法分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動靈敏度，并通過分析6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)Linapod，驗證了方法的正確性。王冰采用綜合誤差敏感度、絕對誤差敏感度和誤差方向敏感度這三個誤差評價指標(biāo)，將各個機(jī)床誤差影響因素對機(jī)床終端誤差的影響進(jìn)行了分析。李小雷等對刻楦機(jī)進(jìn)行了誤差參數(shù)靈敏度分析。程剛等針對以3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)空間內(nèi)各誤差來源，提出了一種通過歸一化描述靈敏度的新方法，并建立基于數(shù)學(xué)統(tǒng)計意義的靈敏度系數(shù)數(shù)學(xué)模型。黃強(qiáng)等以滾齒機(jī)YK3610為對象，介紹基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)變換的機(jī)床誤差建模方法，并對機(jī)床敏感誤差辨識方法、步驟和關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行闡述。但是，通過分析可以看出，目前針對機(jī)床誤差進(jìn)行敏感度分析的文獻(xiàn)還較少，對機(jī)床誤差溯源的研究深度不夠。

本文是在國家重大科技專項“精密立、臥式加工中心研究”和國家自然科學(xué)基金項目“基于模糊穩(wěn)健設(shè)計的機(jī)床動態(tài)精度分析與反演方法研究”的課題背景下，對精密加工中心進(jìn)行精度設(shè)計。為了有效地識別出對機(jī)床加工精度及空間誤差影響較大的幾何誤差參數(shù)，首先基于多體系統(tǒng)理論的方法，分析各部件幾何誤差對機(jī)床精度的影響，建立精密臥式加工中心的精度模型；然后提出了基于矩陣微分法的四軸機(jī)床誤差敏感度分析數(shù)學(xué)方法，根據(jù)模型計算精密臥式加工中心的誤差敏感度和敏感度系數(shù)，從而進(jìn)行誤差溯源。

1 基于多體系統(tǒng)理論的精度建模

根據(jù)精密臥式加工中心的結(jié)構(gòu)與運(yùn)動特點(diǎn)，將機(jī)床抽象成多體系統(tǒng)，用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列描述機(jī)床各部分的關(guān)聯(lián)性；在多體系統(tǒng)中建立廣義坐標(biāo)系，用齊次變換矩陣把機(jī)床各部件的誤差量之間的耦合關(guān)系表述出來；推導(dǎo)出機(jī)床中兩相鄰體之間相對運(yùn)動的特征矩陣和運(yùn)動方程，從而建立加工中心的精度模型。

1.1 廣義坐標(biāo)系的設(shè)置及機(jī)床的特征矩陣

精密臥式加工中心是一臺四軸數(shù)控機(jī)床，具有高剛度、高精度、高速度的特點(diǎn)，根據(jù)設(shè)計要求，其技術(shù)指標(biāo)如表1所示，其刀柄型號為BT50。

加工中心的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，它由床身，X、Y、Z三軸運(yùn)動部件，主軸箱（刀具）和繞B軸旋轉(zhuǎn)的工作臺組成。

根據(jù)多體系統(tǒng)理論的方法，將機(jī)床各組成部件分成相應(yīng)的“體”。并按床身—X軸運(yùn)動部件—Y軸運(yùn)動部件—主軸箱（刀具）分支，和床身—Z軸運(yùn)動部件—工作臺—工件分支分別對其編號，圖2為機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，表2是其低序體陣列，表2中Ln（j）是體Bj的n階低序體陣。

一般來說，機(jī)床的每一個單元部件在處于靜止或運(yùn)動狀態(tài)時都存在空間6個自由度方向的基本誤差，通過分析精密臥式加工中心的結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動關(guān)系可知，加上工件的裝夾誤差，其中影響機(jī)床加工精度的幾何誤差主要有35項，這部分幾何誤差在機(jī)床總誤差中占了較大的比重，表3列出了機(jī)床各部件的幾何誤差（部分）。

多體系統(tǒng)中各體之間的位置和運(yùn)動關(guān)系可以用相應(yīng)的坐標(biāo)系的位姿變換來表示，為了方便機(jī)床的精度建模，需要對坐標(biāo)系進(jìn)行特殊設(shè)置處理。設(shè)置如下：①在床身（B0）和所有運(yùn)動部件（Bj）上均建立起與其固定聯(lián)接的右手笛卡兒三維坐標(biāo)系，這些坐標(biāo)系的集合成為廣義坐標(biāo)系（又稱參考坐標(biāo)系），各體坐標(biāo)系稱為子坐標(biāo)系（又稱動坐標(biāo)系）。每個坐標(biāo)系的3個正交基按右手定則分別為Xj、Yj、Zj軸；②廣義坐標(biāo)系各元素Xj、Yj、Zj軸分別對應(yīng)平行；③X軸部件、Y軸部件（主軸箱）、Z軸部件、工作臺的體運(yùn)動參考系與其對應(yīng)相鄰低序體的體坐標(biāo)系重合；④刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)與主軸端面中心重合；⑤工件上設(shè)定工件坐標(biāo)系。

根據(jù)加工中心的結(jié)構(gòu)和各部件之間的運(yùn)動關(guān)系，可建立各相鄰體間的變換特征矩陣。考慮到加工中心運(yùn)動部件的一些靜止誤差或者非運(yùn)動部件的運(yùn)動誤差相對很小，可令其誤差特征矩陣為單陣I4×4。表4為精密臥式加工中心各部件的特征矩陣T。

表4中帶下標(biāo)p的量表示靜止?fàn)顟B(tài)特征矩陣，帶下標(biāo)s的量表示運(yùn)動狀態(tài)的特征矩陣。

式中，x、y、z分別為X軸部件、Y軸部件、Z軸部件的位移，α、β、γ分別為軸X、Y、Z的相位角。

1.2機(jī)床精度模型

設(shè)刀具成形點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為

工件上成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

理想運(yùn)動條件下有
式中

那么，機(jī)床在無誤差情況（理想情況）下，刀具成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系內(nèi)的理想成形函數(shù)為

在機(jī)械加工中，機(jī)床加工精度最終是由機(jī)床上刀具成形點(diǎn)與工件成形點(diǎn)之間的相對位移誤差決定的。在實際加工過程中，刀具成型點(diǎn)的實際位置不可避免地會偏離理想位置，從而產(chǎn)生空間位置誤差。實際成形點(diǎn)與理想刀具成形點(diǎn)的綜合空間位置誤差為

式中E——機(jī)床的空間誤差矢量

Ex,Ey,Ez——X軸、Y軸、Z軸方向上的誤差式（5）就是精密臥式加工中心的綜合精度模型，它由機(jī)床各部件的幾何誤差組成，根據(jù)此精度模型，基于敏感度分析可以識別對機(jī)床加工精度具有重要影響的關(guān)鍵性誤差源。

2關(guān)鍵誤差源識別

根據(jù)精密臥式加工中心的精度模型，利用矩陣微分法建立四軸機(jī)床誤差敏感度分析的數(shù)學(xué)模型。通過計算各個部件單元幾何誤差的敏感度，比較各個誤差元素對總的空間誤差的影響程度，最終識別出了影響機(jī)床加工精度的關(guān)鍵性誤差源，從而為合理經(jīng)濟(jì)地提高機(jī)床的精度提供重要的理論依據(jù)。

2.1機(jī)床空間誤差敏感度分析模型的建立

根據(jù)式（5），可以建立一般的四軸數(shù)控機(jī)床的誤差計算模型，該模型可以顯性地表示為

式中G——n個機(jī)床各零部件幾何誤差組成的誤差矢量
G=（△ei,△e2,...,△en）T
△ei——機(jī)床部件的幾何誤差，i=1,2,...
Pw——工件上成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量
Pw=（pwxpwypwz1）T
U——機(jī)床各運(yùn)動軸的位置矢量
U=（x,y,z,B）T
Uw——工件位置坐標(biāo)矢量
Uw=（xw,ywzw,1）T
Ut——刀具位置坐標(biāo)矢量
Ut=（xt,ytt,zt1）T
根據(jù)式（5）的形式，可知F是變量G、Pw、U、Uw、Ut的連續(xù)可微函數(shù)，因此式（6）按一階泰勒級數(shù)展開，可以表達(dá)為

式中，ΔG、ΔPw、ΔU、ΔUw、ΔUt分別為G、Pw、U、Uw、Ut在其理想值處的微小波動量，去掉高階項，可以得到

在實際的分析過程中，Pw、U、Uw、Ut可設(shè)為定值，即在固定的工件、刀具安裝位置下，模擬加工相同的工件軌跡，分析由機(jī)床各部件的幾何誤差變化時對總的空間誤差影響程度的大小。因此式（8）簡化為

進(jìn)而可以得到機(jī)床加工精度的敏感度分析模型為

式中，S=δF/δG為雅可比矩陣，稱為誤差敏感度矩陣，并具有如下的形式

至此，用矩陣微分的方法，得到了一般四軸數(shù)控機(jī)床的誤差敏感度矩陣的表達(dá)式。

2.2零部件幾何誤差參數(shù)的檢定

本論文以圖1所示的精密臥式加工中心為研究對象，以圖3為檢驗加工對象，利用QC20-W球桿儀和APIXD-6D雙頻激光干涉儀對各幾何誤差進(jìn)行測試檢定，如圖4所示。測得精密臥式加工中心的35項幾何誤差，考慮到篇幅有限，表5僅列出了部分幾何誤差值。

將表5所示的檢測幾何誤差以及工件的安裝位置（xwd,ywd,zwd,1）T、刀具的安裝位置（xtd,ytd,ztd,1）T、各導(dǎo)軌的運(yùn)動位移x、y、z代入到式（5），就可以得到工件上每個加工位置（pwx,pwy,pwz,1）T的誤差。根據(jù)精密加工中心的幾何精度檢驗標(biāo)準(zhǔn)GB/T20957.7—2007《精密加工中心檢驗條件第7部分：精加工試件精度檢驗》，將加工試件安裝在工作臺中心，在x-y平面上切削一個直徑d=218mm的圓，如圖3所示。

在機(jī)床的工作空間區(qū)域中，各坐標(biāo)軸處于中間位置的工作區(qū)域使用最頻繁，因此主要對機(jī)床中間工作區(qū)域進(jìn)行誤差敏感度的分析。根據(jù)精密臥式加工中心的設(shè)計結(jié)構(gòu)、技術(shù)參數(shù)以及多體系統(tǒng)中廣義坐標(biāo)系的設(shè)置，可設(shè)定工件坐標(biāo)系原點(diǎn)在工作臺坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為
（xwdywdzwd1）T=（500-1901181）T
刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)在主軸坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
（xtdytdztd1）T=（00-1901）T
工件上加工點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍是
pwx=[-109,109]pwy=[553.5,771.5]pwz=-150
各個運(yùn)動軸的取值范圍是
x=[391,609]y=[363.5,581.5]z=118
工作臺轉(zhuǎn)角b=0并且有
pwx=x-500pwy=y+190
其中，根據(jù)典型試件加工軌跡的特點(diǎn)，可得x、y的關(guān)系為
（x-500）2+（y-472.5）2=1092
本文中，取機(jī)床加工試件時運(yùn)動到最高點(diǎn)（x，y，z）=（500,581.5,118）的位置對機(jī)床進(jìn)行誤差
敏感度分析（以上各參數(shù)值的單位為mm）。

2.3關(guān)鍵性誤差源參數(shù)的識別

機(jī)床的加工精度受到零部件幾何誤差耦合而成的空間誤差的影響，每一項誤差對綜合加工精度影響程度大小不一樣，究竟哪些空間幾何誤差參數(shù)對機(jī)床總加工精度的影響較大，主要影響著機(jī)床的加工精度，為了找出各個誤差元素對總的空間誤差的影響程度大小，需要對機(jī)床的精度模型進(jìn)行誤差敏感度分析。針對本文分析的精密臥式加工中心，其精度模型包含了機(jī)床各個運(yùn)動部件產(chǎn)生的幾何誤差共35項。

誤差敏感度反映的是各個誤差元素產(chǎn)生微小變化時總空間誤差的變化程度，根據(jù)式（5）的精度模型和式（11）的誤差敏感度矩陣，可以定義機(jī)床的空間誤差E對各個幾何誤差Δei的偏導(dǎo)數(shù)的絕對值為精密臥式加工中心的誤差敏感度

對于的誤差敏感度S△γz，由式（5）、（11），可得

將上面的誤差參數(shù)值代入到式（13），并進(jìn)行整理，計算得

進(jìn)一步可計算得到△γz對應(yīng)的誤差敏感度為

用同樣的計算方法，可以計算出精密臥式加工中心的精度模型中各誤差元素的敏感度。表6列出了加工中心各誤差元素對應(yīng)的空間誤差E的表達(dá)式（部分），而從E的表達(dá)式中很容易得到相應(yīng)的Si。

由表4可知，精度模型中的幾何誤差元素值按表3的數(shù)值取，并按試件的加工設(shè)定坐標(biāo)變量后，總誤差E與各項誤差元素Δei的關(guān)系為
E=ai+ki△ei（14）
在分別對Em（m=x,y,z）進(jìn)行分析時，式（14）中系數(shù)ki的絕對值越大，表明誤差元素Δei相對應(yīng)的敏感度Si越大，其對空間誤差Em的變化影響也越大。為了更好地識別和分析關(guān)鍵性誤差源，將各誤差源參數(shù)的敏感度系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，定義

式中，smi為Δei對應(yīng)的誤差敏感度系數(shù)，所以敏感度系數(shù)之和為1。

對各幾何誤差對應(yīng)的敏感度系數(shù)進(jìn)行分析可知，誤差敏感度系數(shù)越大，表明總誤差E對誤差元素Δei的變化敏感度越大，也即該幾何誤差源是影響機(jī)床總加工精度的一個關(guān)鍵因素，其對應(yīng)的機(jī)床零部件對機(jī)床整機(jī)的加工精度影響越大。其中對Ex影響較大的關(guān)鍵性誤差源有6項，其對應(yīng)的誤差表達(dá)式、敏感度和敏感度系數(shù)如表7所示。

表7中，Δγx、Δγz、ΔγB、Δγxy、ΔγxB這幾項誤差為機(jī)床本身的設(shè)計誤差，Δγw為工件安裝時產(chǎn)生的誤差。圖5a為此六項誤差元素對應(yīng)的誤差敏感度系數(shù)比較圖。從圖5中可以看出這6項誤差的敏感度系數(shù)之和為0.89，其他誤差對應(yīng)的敏感度系數(shù)僅為0.11。通過計算分析，可見機(jī)床的x軸運(yùn)動部件、z軸運(yùn)動部件、工作臺B軸轉(zhuǎn)動部件繞z軸的轉(zhuǎn)角誤差，x、y軸的垂直度誤差，x、B軸的垂直度誤差，以及工件安裝時繞z軸的轉(zhuǎn)角誤差在加工零件時對總的空間誤差在x軸方向的誤差分量Ex影響較大。

同理，可以識別出對Ey、Ez產(chǎn)生重要影響的關(guān)鍵性誤差源參數(shù)。如圖5b所示，對Ey變化敏感度大的誤差元素有Δγz、ΔγB、ΔγxB、Δγw，這4項誤差的敏感度系數(shù)之和為0.82，其他誤差對應(yīng)的敏感度系數(shù)僅為0.18?？梢姍C(jī)床的z軸運(yùn)動部件、工作臺B軸轉(zhuǎn)動部件繞z軸的轉(zhuǎn)角誤差，x、B軸的垂直度誤差，以及工件安裝時繞x軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角誤差在機(jī)床加工過程中對總的空間誤差在y軸方向的誤差分量Ey影響較大。

如圖5c所示，對Ez變化敏感度大的誤差元素，有Δαx、Δαz、ΔαB、Δαw、Δαyz、ΔαzB、Δβz、ΔβB、Δβxz。這9項誤差的敏感度系數(shù)之和為0.9，其他誤差對應(yīng)的敏感度系數(shù)僅為0.1?？芍獧C(jī)床的x軸運(yùn)動部件繞x軸的轉(zhuǎn)角誤差，z軸運(yùn)動部件、工作臺B軸轉(zhuǎn)動部件繞x和y軸的轉(zhuǎn)角誤差，y、z軸的垂直度誤差，x、z軸的垂直度誤差，z、B軸的垂直度誤差，以及工件安裝時繞x軸的轉(zhuǎn)角誤差在加工零件時對總的空間誤差在z軸方向的誤差分量Ez影響較大。

2.4靈敏度分析結(jié)果

通過對精密臥式加工中心進(jìn)行誤差靈敏度分析，可以得到以下幾點(diǎn)。

（1）機(jī)床的z軸運(yùn)動部件、工作臺B軸轉(zhuǎn)動部件繞z軸的轉(zhuǎn)角誤差（Δγz：z軸導(dǎo)軌在垂直平面內(nèi)平行度誤差的反映，ΔγB：工作臺沿x軸方向的水平度誤差的反映），以及x、B軸的垂直度誤差ΔγxB等這三項誤差對Ex、Ey的變化靈敏度都很大，因此，在機(jī)床的精度設(shè)計時應(yīng)重點(diǎn)控制這幾個誤差的值。

（2）在機(jī)床的各個部件中，z軸導(dǎo)軌的直線度和平行度誤差、工作臺B軸轉(zhuǎn)動部件產(chǎn)生的誤差對總的空間誤差E產(chǎn)生的影響較大。

（3）影響Ex的主要誤差有6項，影響Ey的主要誤差有4項，而影響Ez的主要誤差有9項。相比較而言，Ez受到的基本誤差元素的影響更復(fù)雜。

3結(jié)論

（1）精度建模與誤差敏感度分析是機(jī)床精度設(shè)計的核心內(nèi)容之一。用多體系統(tǒng)理論的方法，綜合考慮機(jī)床各部件的幾何誤差，建立了精密臥式加工中心的精度模型。

（2）根據(jù)精度模型，提出了四軸數(shù)控機(jī)床的誤差敏感度分析方法，用矩陣微分法建立四軸數(shù)控機(jī)床的敏感度分析模型，并推導(dǎo)出精密臥式加工中心的敏感度分析模型。

（3）以誤差檢測試驗和加工典型標(biāo)準(zhǔn)試件為例對加工中心進(jìn)行誤差敏感度分析，得到z軸導(dǎo)軌在垂直平面內(nèi)的平行度誤差、工作臺沿x軸方向的水平度誤差以及x、B軸的垂直度誤差ΔγxB等這幾項誤差因素對Ex、Ey的影響較關(guān)鍵，最終識別出了影響機(jī)床加工精度的關(guān)鍵性誤差，實現(xiàn)了誤差溯源，為精密數(shù)控機(jī)床的設(shè)計提供了重要的理論依據(jù)。